Potenzreihenentwicklung: Beispiel mit geometrischer Reihe und Konvergenzradius

Es sei eine Funktion $f(x)=\dfrac{2}{3-x}$ gegeben.

Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung zum Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ und bestimmen Sie das offene Konvergenzintervall.

Lösung:

$$f(x)=\dfrac{2}{3-x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}x}$$

Nun setzen wir $q=\dfrac{1}{3}x$ und es gilt mit der geometrischen Reihe

$$f(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(\dfrac{1}{3}x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1^k}{3^k}\cdot x^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3^{k+1}} x^k$$

Zur Bestimmung des Konvergenzintervalls nutzen wir die Bedingung der geometrischen Reihe, dass $|q|<1$ sein muss, damit die Reihe konvergiert.

$$|q|=|\dfrac{1}{3}x|<1$$ $$|x|<3$$

Also konvergiert die Potenzreihe für $x\in(-3,3)$.