Es sei eine Funktion $f(x)=\dfrac{2}{3-x}$ gegeben.
Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung zum Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ und bestimmen Sie das offene Konvergenzintervall.
Lösung:
$$f(x)=\dfrac{2}{3-x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}x}$$
Nun setzen wir $q=\dfrac{1}{3}x$ und es gilt mit der geometrischen Reihe
$$f(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(\dfrac{1}{3}x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1^k}{3^k}\cdot x^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3^{k+1}} x^k$$
Zur Bestimmung des Konvergenzintervalls nutzen wir die Bedingung der geometrischen Reihe, dass $|q|<1$ sein muss, damit die Reihe konvergiert.
$$|q|=|\dfrac{1}{3}x|<1$$ $$|x|<3$$
Also konvergiert die Potenzreihe für $x\in(-3,3)$.
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