Dienstag, 22. September 2020

Potenzreihenentwicklung: Beispiel mit geometrischer Reihe und Konvergenzradius

Es sei eine Funktion $f(x)=\dfrac{2}{3-x}$ gegeben.

Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung zum Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ und bestimmen Sie das offene Konvergenzintervall.

Lösung:

$$f(x)=\dfrac{2}{3-x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}x}$$

Nun setzen wir $q=\dfrac{1}{3}x$ und es gilt mit der geometrischen Reihe

$$f(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(\dfrac{1}{3}x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1^k}{3^k}\cdot x^k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2}{3^{k+1}} x^k$$

Zur Bestimmung des Konvergenzintervalls nutzen wir die Bedingung der geometrischen Reihe, dass $|q|<1$ sein muss, damit die Reihe konvergiert.

$$|q|=|\dfrac{1}{3}x|<1$$ $$|x|<3$$

Also konvergiert die Potenzreihe für $x\in(-3,3)$.

Freitag, 13. April 2018

Hydrolyse der glycosidischen Bindung: Mechanismus & Erklärung

Das Vollacetal der glycosidischen Bindung wird hydrolytisch gespalten. Dazu ist zunächst eine Säurekatalyse notwendig. Der Sauerstoff der glycosidischen Bindung wird protoniert.
Das Disaccharid spaltet sich dann in zwei Monosaccharide, wobei das Monosaccharid, das zuvor mit seinem anomeren C-Atom am Vollacetal beteiligt war, die positive Ladung übernimmt. Dies liegt darin begründet, dass das entstehende Carbeniumion mesomeriestabilisiert ist, ermöglicht durch den +M-Effekt der Ethergruppe.
An dieses Monosaccharid wird Wasser addiert, es entsteht ein Oxoniumion, welches letztendlich den Katalysator regeneriert. Beide entstehenden Monosaccharide weisen in wässriger Lösung eine Mutarotation auf.

Sonntag, 18. Juni 2017

Wieso schmeckt schlechte Milch sauer?

Wer kennt es nicht: man macht ohne schlechte Vorahnung die Packung Milch auf und probiert. Es schmeckt nicht wie erwartet, sondern sauer. Die Milch ist schlecht. Aber woher kommt der saure Geschmack?

Da nur krankmachende Keime von der Pasteurisierung abgetötet werden, überleben andere Bakterien, die reihenweise noch in der Milch sind. Mit der Zeit vermehren diese sich und betreiben ihren Stoffwechsel.
Lactose
Dabei wird unter anderem auch Lactose (Milchzucker) zu Milchsäure (2-Hydroxypropansäure) umgewandelt. Die Milchsäure ist es, die den sauren Geschmack der schlechten Milch ausmacht.

Milchzucker

Freitag, 8. Juli 2016

3 Wege, einfach und schnell Programmieren zu lernen

Programmieren gilt als hohe Kunst. Dabei ist es wirklich nicht schwer. Ich selbst kann Programmieren, seit ich 13 Jahre alt bin.
Ich kann euch versichern, es gibt viele einfache und schnelle Wege, es auch zu erlernen.
Und genau die stelle ich euch heute vor.

1. Bücher lesen

Natürlich nicht irgendwelche Bücher. Sucht euch Bücher aus, die einfache Programmiersprachen erklären, wie z.B. Python oder Java, das selbst für das Lernen vom Programmieren entwickelt wurde.
Für einen besonders leichten Einstieg sind tatsächlich auch Bücher für Kinder geeignet.

Wichtig ist beim Lesen von Büchern, wie bei anderen Methoden auch: die Anwendung. Das heißt, macht die Aufgaben aus dem Buch oder schreibt die Programme aus dem Buch selbst mit, und seht, wie sie auf eurem PC aussehen.


2. Unterricht

Ob in der Schule oder sonstige Kurse, das sind die Orte an denen ihr ganz individuell und direkt Programmieren beigebracht bekommt.

Wenn ihr noch in der Schule seid, belegt einen Informatik-Kurs. Das Programmieren wir dort oft sehr grundlegend und einfach erklärt.
Ansonsten sucht in lokalen Abendschulen u.ä. nach Kursen über das Programmieren.

Nachteil bei dem Unterricht ist natürlich der hohe Kostenfaktor.

3. Online Programmieren lernen

Das ist der mittlerweile günstigste (oft kostenlose) und auch meist sehr simple Weg, Programmieren zu lernen.
Es gibt diverse gute Webseiten, um kostenlos Programmieren zu lernen, die gut aufgebaut sind und auch stilistisch etwas hermachen, sowie natürlich gute Erklärungen bereitstellen.
Einige Seiten sind auch interaktiv, sodass sich direkt im Browser arbeiten lässt.

Das ist auch die Methode, die ich nutzte, um Programmieren zu lernen. Zwar habe ich auch Bücher gelesen, aber im Internet lässt sich außerdem auf das gesamte Wissen anderer, erfahrener Programmierer zugreifen.
Insbesondere bei konkreten Fragestellungen ist die kostenlose Plattform Stackexchange der perfekte Ort, um erfahrene Nutzer um Rat zu fragen (zuerst aber die Frage googlen!).

Auch teilweise interessant sind YouTube-Tutorials, die ich allerdings nicht für besonders geeignet empfinde. Dabei fehlt für mich die Interaktivität und eigenen Anwendung.

Beispiele: Codeacademy (Empfehlung!), W3Schools (besonders gut für Webseitenprogrammierung)


So, das waren meine 3 Wege, Programmieren zu lernen (es gibt noch ein paar andere).
Legt los und viel Spaß! Verliert die Hoffnung nicht, jeder kann Programmieren lernen.

Sonntag, 15. Mai 2016

Umwelt & Mensch im Mittelalter - eine Zusammenfassung

Im Verlauf des Mittelalters (etwa 6. Jahrhundert bis 1500) veränderte sich einiges im Verhältnis des Menschen zu seiner Umwelt oder der Natur.
Diese Veränderung werde ich im Folgenden in die Abschnitte des Mittelalters (Früh-, Hoch- und Spätmittelalter) unterteilen und dann weiter beschreiben.

Frühmittelalter (6. bis Mitte 11. Jhr.)

Im Frühmittelalter zeichnete sich ein leichtes Bevölkerungswachstum ab. Zwischen den Jahren 650 und 1000 beispielsweise verdoppelte sich die Einwohneranzahl (geschätzt) in Deutschland von 2 Mio. auf 4 Millionen (Grafik dazu).

Einige wenige wurden zu dieser Zeit sesshaft, allerdings meist nur für kurze Zeit. Denn es wurde nur Wald gerodet, um Ackerland zu gewinnen, bis dieses wieder weniger einbrachte. Darauf folgte dann wieder die Verwilderung des Landes, und die Menschen zogen weiter.
Durch diese kurzfristigen Aktivitäten fand nur ein kleiner Einfluss auf die Natur statt, und diese konnte sich schnell wieder regenerieren.

Im Frühmittelalter galt die Natur oft als Feind, da der Wald u.a. mit Verwaldung drohte und der Mensch der Natur ausgeliefert und auf sie angewiesen war. Dieses Verständnis der Natur wird auch "erste Natur" genannt. Mehr dazu aber später.
Holz wurde außerdem als Roh- und Baustoff (für Häuser usw.) sowie als Energieträger (Licht und Wärme durch Feuer) gebraucht.

Hochmittelalter (Mitte 11. Jhr. bis 1250)

Wie auch in der oben genannten Grafik ablesbar ist, fand im Hochmittelalter ein sehr starkes Bevölkerungswachstum statt.
Dies lässt sich mit der zu dieser Zeit aufkommenden Dreifelderwirtschaft erklären, durch die höhere und weitaus effizientere Ernten erzielt wurden. Mit den höheren Erträgen ließ sich die Bevölkerung besser ernähren.

Durch die Dreifelderwirtschaft und steinerne Bauten wurden die Menschen sesshaft. Ihre Äcker wurden nicht mehr so leicht ausgebeutet, weshalb sie länger an einem Ort verweilen konnten.
Mit der Sesshaftigkeit kam aber auch eine Abhängigkeit vom Adel (usw.) einher, denen das Land gehörte. Folglich mussten Abgaben geleistet werden.

Durch das Bevölkerungswachstum begann man zudem mit dem Landesausbau in Osteuropa.

Auch boomte der Bergbau. Dieser förderte das Stadtwachstum, da Erzverhüttung zuzog und die Münzproduktion Währungsmittel für den Markt in der Stadt bot.
Der Bergbau förderte aber auch die Waldrodung, da Holz für den Ausbau der Stollen (als Stützen), für Abwasserleitungen in den Gruben und für die Erzverhüttung benötigt wurde.

Der Wald bzw. dessen Holz diente zusätzlich immer noch als Roh- und Baustoff, Energiequelle und bildete die Nahrungsgrundlage für Wildtiere oder für Menschen (Pflanzen wie Beeren o.ä. im Wald).

Der Bergbau brachte aber auch Gefahren mit sich, wie z.B. Vergiftung durch Schwermetalle, die beim Graben frei wurden oder sonstige Grubenunfälle.

Einher mit der Dreifelderwirtschaft kam das Verständnis der "zweiten Natur", da die Natur zur Nutz- und Ackerlandschaft wurde und somit vom Menschen beeinflusst wurde.

Zunächst nahmen die Menschen kaum Rücksicht auf die Natur, was sich aber schnell änderte. Man begann mit Aufforstung und Schutzplänen, um die Natur zu schonen.
Ein tatsächlicher Schutz des Waldes fand aber erst ab dem 18. Jahrhundert statt.

Spätmittelalter (1250 bis 1500)

Am Anfang des 14. Jahrhunderts sanken die Ernteerträge, wodurch das Ernährungssystem instabil wurde und leicht erschüttert werden konnte.
Außerdem kam die Pest nach Europa (um 1350 in Deutschland).

[--> Mehr zur Pest könnt ihr hier lesen.]

Dadurch fielen die Bevölkerungszahlen sehr stark ab (Grafik).

Das Massensterben und die Stadtflucht (obwohl dort auch niedrige Hygiene herrschte) führten zu sog. "Wüstungen": Dörfer und Höfe wurden verlassen, weshalb sie wüst lagen und Äcker unbestellt waren. Die Natur holte sich diese Orte zurück.

Zeitgleich damit ging auch der Bergbau stark zurück, wahrscheinlich durch die oben genannten Gründe und möglicherweise auch zu wenig Holz.
Im 16. Jahrhundert setzte der Bergbau aber wieder ein.

Wandel des Naturverständnisses

Damit zeichnet sich ein Wandel im Verständnis und Verhältnis des Menschen zur Natur ab.
Zunächst sah man die Natur als Feind an (erste Natur) und bekämpfte sie mit allen Mitteln. Dann aber, zum Ende des Hochmittelalters kam das Verständnis einer beeinflussbaren Natur auf (zweite Natur), und die Menschen versuchten teilweise, die Natur zu schützen.

[--> Mehr zum Leben im Mittelalter erfahrt ihr übrigens auch hier.]


Quellen

Stand der folgenden Quellen, sowie der im Text, ist das Veröffentlichungsdatum dieses Artikels.

Samstag, 5. März 2016

Wie funktionieren Geld-Test-Stifte (chemisch)?

Besonders praktisch für kleine Unternehmen sind sie: die Geldschein-Test-Stifte. Man schreibt mit ihnen auf den Geldschein und ist er echt, wird die aufgetragene Lösung gelb, ist er falsch, schwarz.

Aber wie funktioniert das?
In den Stiften ist Iod enthalten. Kommt dieses mit stärkehaltigem Papier (wie normales Kopierpapier) in Berührung, reagiert es zu einem Iod-Stärke-Komplex.


Die Iodstärke-Reaktion beruht auf dem Einbau von kettenartigen Iod-Molekülen in die spiralförmigen Moleküle der Stärke, wobei Iodstärke als Einschlussverbindung entsteht. Diese Verbindung absorbiert langwelliges Licht, daher wird nur blauviolettes bzw. schwarzes Licht bei hoher Konzentration remittiert.
(Zitat, leicht geändert, Quelle)

Diese Reaktion erfolgt exotherm, es wird Energie in Form von Wärme abgegeben. Diese begünstigt somit die Rückbildung des Komplexes in seine Edukte, da für diesen Energie zugeführt werden muss.
Beim Abkühlen trennt sich der Iod-Stärke-Komplex also wieder auf. Er entfärbt sich nach einiger Zeit wieder.

So entsteht die schwarze Färbung bei gefälschten Scheinen.

Bei echten Euronoten würde dies nicht passieren, da diese zum Großteil aus Baumwollfasern bestehen.  Da dort keine Reaktion stattfindet, verändert sich auch die Farbe nicht.

Effektivität

Da dieses Konzept bekannt ist, lässt sich dieses verhältnisweise einfache Prinzip leicht von Fälschern umgehen. Für einfache Fälschungen jedoch ist es lohnenswert, insbesondere da diese Art von Test schnell, billig und simpel durchzuführen ist.

Quellen

Samstag, 20. Februar 2016

Ethanol in unserem Bier!

Wenn Du jetzt gerade, nachdem Du die Überschrift gelesen hast, panisch auf diesen Artikel geklickt hast, weil Du dachtest Ethanol im Bier sei unnormal, dann lese dass hier unbedingt.
Anderen lege ich diesen Artikel ans Herz. Er ist zwar von 1986, veranschaulicht aber, was ich eben meinte.



Und jetzt weiter im Thema. Alkohol ist nichts anderes als anderes als Ethanol.
Was wir doch so oft in unserem Bier als Alkohol trinken, ist ganz einfach Ethanol, der aus Glucose gewonnen wird. Mithilfe von Hefe.
Und für die Umweltschützer: dabei entsteht Kohlenstoffdioxid!
(Für die die selber Alkohol herstellen wollen: hier geht's zur alkoholischen Gärung.)



Das mag für die meisten sehr rational klingen, im oben genannten Artikel ist es das aber wohl für manche nicht.

Was ich damit nur nochmal verdeutlichen wollte: Methanol ist zwar das starke Gift, Ethanol ist mit Sicherheit aber auch in bestimmter Weise schädlich für den Körper. Bei einer zu großen Dosis ist der Alkohol zum Beispiel schädlich für die Leber.

Zum Mitnehmen noch als kleine Anmerkung: Alkohol im Körper wird erst eine Stunde nach dem höchsten Gehalt angefangen abzubauen. Und das ziemlich langsam.
Das musste ich jetzt loswerden.